Beispiel einer Web-App

2,2-LGS*

Lösen von eindeutig-lösbaren, linearen Gleichungssystemen

DAS GLEICHUNGSSYSTEM:
* A + * B =
* A + * B =

Ergebnisse wurden ermittelt!

Bitte füllen Sie alle erforderlichen Felder aus!

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar (detH=0)!

ERGEBNISSE:
A =
B =
* Die Abkürzung 2,2-LGS bedeutet, dass es sich um 2 Gleichungen und 2 Unbekannte und ein lineares Gleichungssystem handelt. Hier werden nur eindeutig-lösbare lineare Gleichungssysteme behandelt, so dass der Zusatz "eindeutig-lösbar" im Weiteren weggelassen wird.

Zum Lösungsweg

Die Lösung des Gleichungssystems wird mittels 2-reihiger Determinanten ermittelt. Bei einer Berechnung von Hand werden bei zwei Gleichungen zur Lösung die drei Determinanten notiert und berechnet. Mit diesen Werten können dann die beiden Ergebnisse ermittelt werden, sofern die Hauptdeterminante ungleich Null ist, d.h. das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Vorteile des gewählten Lösungsweges

Die Berechnung mittels Determinanten ist leicht nachvollziehbar und erfordert keinerlei Tricks. Verfahren, die bei jeder Aufgabe anders ablaufen, erfordern ein großes mathematisches Verständnis und viel Erfahrung.

Das Verfahren verläuft - völlig unabhängig von der jeweiligen Aufgabenstellung - immer gleich. Solche Verfahren bewähren sich m.E. in der Praxis und sind damit auch für den Unterricht tauglich.
Dieses Script ist im Rahmen meines Mechanik-Unterrichts entstanden, um das Verfahren üben zu können und damit die Studierenden schnell ihre Ergebnisse selbst prüfen können. Für einen "Techniker" geht es m.E. nicht darum, die allgemeingültigste, schönste Lösung zu finden, sondern die Schnellste und leichteste Methode. Meiner Meinung nach sollte das Determinanten-Verfahren ohnehin jedem Techniker bekannt sein, da sich hiermit die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen (2,2 und 3,3-LGS) sehr schnell prüfen lässt. Ist die Hauptdeterminante ungleich Null, dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Vorteilhaft an diesem Lösungsweg ist auch, dass er sich z.B. leicht in EXCEL umsetzen lässt. Das Programmieren eines EXCEL-Arbeitsblattes bietet ebenfalls viele Übungs- und Erkennnismöglichkeiten. Die Umsetzung einer allgemeinen Lösung in EXCEL mittels des Gauß-Verfahrens erfordert wesentlich mehr mathematisches Knowhow und lässt sich mit EXCEL-Bordmitteln gar nicht verwirklichen. Hierzu ist ein Makro erforderlich. Von einer schnellen Lösung, zur Bearbeitung von Mechanik-Aufgaben kann dann nicht mehr die Rede sein.

Nachteile des gewählten Lösungsweges

Der hier verwendete Lösungsweg per zweireihiger Determinante ist in sofern nicht allgemeingültig, dass er so mit dem gleichen Algorithmus nicht auf dreireihige Determinanten angewendet werden kann. Soll ein dreireihiges Gleichungssystem gelöst werden, so ergibt sich ein völlig anderer Lösungsweg (z.B. nach der Regel von Sarrus). Zur Bearbeitung von 2- und dreireihigen Gleichungssystemen kann nicht das gleiche Script verwendet werden. Aus der Sicht einer leichten Vermittelbarkeit im Rahmen des Technik-Unterrichts ist dies jedoch nicht so entscheidend. Eine allgemeingültige Lösungsmöglichkeit wäre der sog. Gauß-Algorithmus oder das verallgemeinerte Determinantenverfahren. Beide Verfahren erfordern einige Einarbeitung und sind für die pragmatische Anwendung für Studierende, die lediglich eine mathematische Grundbildung haben, schwieriger zu erlernen. Sinnvoll kann ein vereinfachter Gauß-Algorithmus im Hinblick auf Gleichungen mit bis zu sechs Unbekannten sein. Dieser Fall kommt z.B. in der Mechanik bei der Berechnung von Auflagerreaktionen räumlicher Problemstellungen durchaus vor.

Anmerkungen zur Programmierung

Wenn Sie eher die Programmierung interessiert, dann bietet sich hier eine gute Möglichkeit für eigene Experimente. Meiner Meinung nach ist die Kombination HTML und JavaScript und/oder PHP ausgezeichnet geeignet, um solche Aufgaben zu lösen. Die Lösung dieser Aufgabe mittels C++ Anwendung erfordert sicherlich mehr Einarbeitung.

Mögliche Verbesserungen

Sofern sämtliche Determinaten ausgegeben werden, können auch die Zwischenschritte leichter verglichen werden. In diesem Fall lassen sich Fehler (häufig: Vorzeichenfehler) schneller finden.
Weiterhin könnte ein zusätzliches Feld vorgesehen werden, in das der Anwender selbst das Formelzeichen z.B. x,y oder F1 und F2 o.ä. eingeben kann.
Geübte JavaScript oder PHP-Programmierer werden einwenden, dass ich das Ganze auch für eine beliebige Anzahl von Gleichungen programmieren kann. Das ist richtig, in diesem Fall erhöht sich jedoch der Schwierigkeitsgrad der Programmierung erheblich, da dann dynamisch auf das DOM zugegriffen werden müsste. Es könnte z.B. eine Schaltfläche geben, die jeweils eine Gleichung hinzufügt. Ich halte es für den Unterricht gerade für einen wesentlichen Vorteil, dass hier nur die Lösung eines 2,2-LGS geübt wird. Natürlich könnte man das Script auch so gestalten, dass man zwischen einem 2,2 und einem 3,3 Gleichungssytem umschalten kann.
Im Unterricht hat es sich jedoch m.E. bewährt, die Bearbeitung von 2,2- und 3,3-LGS nicht gleichzeitig zu behandeln, da die Studierenden auch wissen sollen, welcher Aufgabentyp auf ein 2,2-LGS oder 3,3-LGS führt. Beispiel: Im Falle der Mechanik würden z.B. die Kräfteaufteilung an einem Loslagerbolzen zu einem 2,2-LGS führen. Die Berechnung der Auflagerkraft eines Los-Festlager-Systems würde auf ein 3,3-LGS führen und ein System mit zwei Festlagern wäre mit den im Techniker-Unterricht vermittelten Grundlagen i.d.R. gar nicht mehr lösbar, da die notwendigen Verfahren im Techniker-Unterricht i.d.R. nicht besprochen werden.

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