Beispiel eines ONLINE-Wikis
mit mathematischen Formeln
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen
\begin{align}
\begin{vmatrix}
a_{11} \cdot x_1 & + & a_{12} \cdot x_2 & = & b_1 \\
a_{21} \cdot x_1 & + & a_{22} \cdot x_2 & = & b_2 \\
\end{vmatrix}
\end{align}
Gl. 1: Das 2,2-LGS in der Normalform
Die nebenstehende Darstellung stellt die Normalform eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten (hier x1 und x2) dar.
Das Lineare Gleichungssystem ist lösbar, wenn:
\begin{equation}
det \hspace{3mm}H = |H| \neq 0!
\end{equation}
\begin{equation}
det \hspace{3mm}H = |H| =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
\end{equation}
Gl 2: Lösbarkeit des LGS
In Worten: Ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Hauptdeterminante ungleich Null ist!
Sofern das Gleichungssystem lösbar ist, werden berechnet:
\begin{equation}
det \hspace{3mm}x_1 = |x_1| =
\begin{vmatrix}
b_1 & a_{11} \\
b_2 & a_{21} \\
\end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
=b_1 \cdot a_{21} - [b_2 \cdot a_{11}]
\end{equation}
\begin{equation}
det \hspace{3mm}x_2 = |x_2| =
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2 \\
\end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
=a_{11} \cdot b_2 - [a_{21} \cdot b_1]
\end{equation}
Gl. 3 / Gl. 4
Merke: Benenne die Determinanten so wie die Unbekannten.
In diesem Fall wird x1 gebildet, indem die Spalte mit den Vorzahlen von x1 (vgl. Gl. 1) durch die rechte Seite des Gleichungssystems ausgetauscht wird.
Diese Bildungsregel bezieht sich auf die Normalform des Gleichungssystems (vgl. Gl. 1).
Mit den bekannten Werten der Determinanten x1 und der Determinanten x2 ergeben sich die Unbekannten zu:
\begin{equation}
x_1 = \frac{det \hspace{3mm} x_1}{det \hspace{3mm} H}= \hspace{3mm}...
\end{equation}
\begin{equation}
x_2 = \frac{det \hspace{3mm} x_2}{det \hspace{3mm} H}= \hspace{3mm}...
\end{equation}
Gl. 5 / Gl. 6
Merke: Unterscheide zwischen den Unbekannten x1 und x2 und dem Wert der Determinanten x1 und der Determinanten x2.
Sofern x1 und x2 richtig berechnet wurden, müssen Sie Gl. 1 erfüllen, d.h. wenn man x1 und x2 in Gl. 1 einsetzt, muss sich eine wahre Aussage ergeben.